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【李永乐老师】中国数学家王虹、邓煜获得菲尔兹奖！一个视频告诉你王虹研究的挂谷猜想是什么

外来客 • 2026-08-22 00:33:15

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🏆 菲尔兹奖突破

  • 2026年国际数学家大会揭晓菲尔兹奖，北大毕业青年数学家王虹和邓煜双双获奖，实现中国数学家在该奖项上的零突破。
  • 菲尔兹奖每四年颁发一次，仅授予40岁以下数学家；证明费马大定理的怀尔斯因超龄一岁未获此奖。
  • 王虹研究挂谷猜想，邓煜研究希尔伯特第六问题。
  • 1982年丘成桐、2006年陶哲轩是此前获此奖的华人代表。

📏 挂谷问题定义

  • 1917年日本数学家挂谷宗一提出：一根长度为1的线段在平面内旋转180度，扫过的最小面积是多少？
  • 普通人直觉解法：绕一端旋转形成半圆，面积约为1.57；绕中点旋转形成圆，面积约为0.785。
  • 凸形状最优解：匈牙利数学家鲍尔证明，若扫过区域为凸形，正三角形（高为1）面积最小，约为0.577。
  • 挂谷本人提出内摆线解法：利用小圆在大圆内无滑动滚动，任意切线长为1，扫过面积约为0.392，但他认为这是最小值。

📉 面积趋近于零

  • 1928年俄罗斯数学家贝西科维奇证明：线段旋转180度扫过的面积可以无限小，趋近于0。
  • 鲍尔平移原理：线段移动时，先转微小角度Δθ，再沿新方向平移，最后转回，扫过面积仅为两个微小扇形之和，随角度减小而趋近于0。
  • 佩隆树构造：基于鲍尔平移，将三角形分割并重叠，形成佩隆树结构。
  • 当分割份数m趋向无穷大时，佩隆树面积S = BC长度 / (m+1) 趋近于0，从而实现零面积旋转。
  • 该结构对应的点集称为贝西科维奇集合或挂谷集合。

📐 挂谷猜想内容

  • 猜想核心：在N维空间中，贝西科维奇集合的豪斯多夫维数和明可夫斯基维数均为N。
  • 豪斯多夫维数定义：若图形由n个相似比为1/m的小图形组成，维数D = log_m(n)。
  • 示例：正方形维数为2（4个小正方形，相似比1/2）；立方体维数为3（8个小立方体，相似比1/2）；科赫雪花维数约为1.26（4个小图形，相似比1/3）。
  • 二维情况：1971年戴维斯证明平面贝西科维奇集合的两个维数均为2，二维猜想得证。

📈 三维猜想进展

  • 三维情况长期未解，1995年沃尔夫证明三维贝西科维奇集合豪斯多夫维数不小于2.5。
  • 1999年陶哲轩将下界推进至2.50000001，成果发表于《数学年刊》。
  • 2025年王虹与合作者扎尔证明：三维空间中贝西科维奇集合的豪斯多夫维数和明可夫斯基维数均为3，彻底解决三维挂谷猜想。
  • 这一突破被视为巨大成就，王虹因此获得菲尔兹奖，成为中国数学史上的里程碑。

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