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含可去与跳跃间断点的函数定积分求解 | Khan Academy

外来客 • 2026-08-30 09:36:20

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（原标题：Evaluating definite integral of function with removable and jump discontinuities | Khan Academy）

📐 核心观点

定积分的值对应函数图像与 $x$ 轴之间区域的代数面积，即上方为正、下方为负。
可去间断点（Removable Discontinuities）或跳跃间断点对定积分的数值结果没有影响，因为单点或有限个点的面积为零。
处理含有间断点的分段函数积分时，需根据定义域将积分区间拆分为多个子区间分别计算后求和。

📊 关键事实与论据

积分区间设定：题目要求计算 $f(x)$ 从 $x = -6$ 到 $x = 5$ 的定积分，该区间内函数值主要为负，因此最终结果为负数。
分段函数定义：
在区间 $[-6, 2]$ 上，函数表达式为 $\frac{x^2 - 9}{x + 3}$。由于存在可去间断点（$x = -3$），该式可化简为 $x - 3$ 进行积分计算。
在区间 $(2, 5]$ 上，函数表达式为 $-5 - \sqrt{x - 1}$。
积分拆分策略：总积分被拆分为 $\int_{-6}^{2} (x - 3) dx$ 与 $\int_{2}^{5} (-5 - \sqrt{x - 1}) dx$ 两部分之和。
计算过程细节：
第一部分原函数为 $\frac{1}{2}x^2 - 3x$，代入上下限 $-6$ 和 $2$ 后，计算结果为 $-40$。
第二部分利用逆链式法则（Reverse Chain Rule）求原函数，涉及项 $-\frac{2}{3}(x - 1)^{\frac{3}{2}}$。代入上下限 $5$ 和 $2$ 后，该部分计算结果为 $-19\frac{2}{3}$（即 $-15 - \frac{14}{3}$）。

✅ 结论

将两部分积分结果相加：$-40 + (-19\frac{2}{3}) = -59\frac{2}{3}$。
尽管计算过程涉及复杂的分数与根式运算，但核心逻辑在于识别间断点不影响面积，并正确应用分段积分法则。

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