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确定一阶导数等于平均变化率的时间：2025年AP微积分AB | Khan Academy

外来客 • 2026-08-30 13:23:51

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（原标题：Determining when first derivative equals average rate of change, 2025 Calculus AB | Khan Academy）

📐 核心观点

  • 本题旨在求解瞬时变化率等于平均变化率的具体时刻 $t$。
  • 解题逻辑分为两步：首先计算区间 $[0, 4]$ 上的平均变化率，随后令一阶导数 $c'(t)$ 等于该平均值并解方程。
  • 在 AP 微积分考试中，展示完整的计算过程与标注单位是获取满分的关键，仅给出最终数值无法获得全部分数。

📊 关键事实/论据

  • 函数模型：受侵染面积 $c(t) = 7.6 \arctan(0.2t)$，其中 $t$ 为周数。
  • 导数公式：一阶导数 $c'(t) = \frac{38}{25 + t^2}$。
  • 平均变化率计算：利用斜率公式 $\frac{c(4) - c(0)}{4 - 0}$。由于 $c(0)=0$，需计算 $c(4)$。计算器必须设置为弧度（Radian）模式，算得 $c(4) \approx 5.128$，进而得出平均变化率约为 $1.282$ 英亩/周。
  • 方程求解：令 $\frac{38}{25 + t^2} = 1.282$。通过代数变形得到 $t^2 = \frac{38 - 32.050}{1.282}$，最终解得 $t \approx 2.154$ 周。

✅ 结论

  • 瞬时变化率等于平均变化率的时刻为 $t \approx 2.154$ 周。
  • 考生应明确写出平均变化率的计算式、单位（英亩/周）以及令导数等于该值的代数推导过程，以确保符合评分标准。

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