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应用隐函数求导法：2023年AP微积分AB自由回答题6a | Khan Academy

外来客 • 2026-08-30 13:24:19

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（原标题：Applying implicit differentiation, 2023 Calculus AB free response 6a | Khan Academy）

📐 核心观点

  • 针对无法直接解出 $y$ 的隐函数关系，需使用隐函数求导法计算 $\frac{dy}{dx}$。
  • 该方法的核心是对等式两边同时关于 $x$ 求导，并运用链式法则处理含 $y$ 的项。

📝 关键步骤

  • 前提：曲线方程为 $6xy = 2 + y^3$，目标证明 $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{y^2 - 2x}$。
  • 求导操作：左边利用乘积法则得 $6y + 6x\frac{dy}{dx}$；右边常数项导数为0，$y^3$ 项导数为 $3y^2\frac{dy}{dx}$。
  • 代数化简：两边同除以3得到 $2y + 2x\frac{dy}{dx} = y^2\frac{dy}{dx}$。
  • 变量分离：移项并提取公因式 $\frac{dy}{dx}$，得 $2y = \frac{dy}{dx}(y^2 - 2x)$。

✅ 最终结论

  • 两边同除以 $(y^2 - 2x)$，得出 $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{y^2 - 2x}$，完成题目要求的证明。

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