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描述极坐标函数图像特征 | AP®︎/大学预备微积分 | Khan Academy

外来客 • 2026-08-30 15:23:11

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（原标题：Describing characteristics of polar function graphs | AP®︎/College Precalculus | Khan Academy）

📐 核心观点

在极坐标函数 $r = g(\theta)$ 中，当半径值 $r$ 为负且持续减小时，图形上的点会沿着角度相反的方向远离原点。
此时，尽管数值 $r$ 本身在减小（变得更负），但点到原点的实际几何距离是增加的。

📊 关键事实与论据

函数定义：设 $g(\theta) = \cos(\theta - \pi/2) - 1$，考察区间为 $[\pi/2, 3\pi/2]$（包含端点）。
数值推导：
当 $\theta = \pi/2$ 时，$\cos(0) - 1 = 0$。
当 $\theta = \pi$ 时，$\cos(\pi/2) - 1 = -1$。
当 $\theta = 3\pi/2$ 时，$\cos(\pi) - 1 = -2$。
趋势分析：随着 $\theta$ 从 $\pi/2$ 增加到 $3\pi/2$，$r$ 的值从 $0$ 变为负数并持续减小（即“negative and decreasing”）。
几何解释：
在 $\theta = \pi$ 处，$r=-1$ 表示点位于角度相反方向（右侧）距离原点 1 单位处。
在 $\theta = 3\pi/2$ 处，$r=-2$ 表示点位于角度相反方向（上方）距离原点 2 单位处。
数学本质：点到原点的距离等于 $|r|$。由于 $|0|=0, |-1|=1, |-2|=2$，绝对值随区间推进而增大，因此距离是增加的。

✅ 结论

在指定区间内，$r$ 的取值特征为“负且递减”（negative and decreasing）。
极坐标点到原点的距离在该区间内表现为“增加”（increasing）。
这一现象源于负半径导致点向角度反方向延伸，使得几何距离随 $|r|$ 的增长而扩大。

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