电通量与高斯定律（第二部分） | AP物理 | Khan Academy

外来客 • 2026-10-03 05:01:57

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（原标题：Electric flux and Gauss's law (part 2) | AP Physics | Khan Academy）

电通量定义：电场穿过某面积的通量等于电场矢量 $\mathbf{E}$ 与面积矢量 $\mathbf{A}$ 的点积，即 $|\mathbf{E}| |\mathbf{A}| \cos\theta$。其中 $\theta$ 为面积矢量（垂直于表面）与电场矢量的夹角。
通量极值条件：当面积矢量垂直于电场时（$\theta=90^\circ$），通量为零；当面积矢量平行于电场时（$\theta=0^\circ$），通量达到最大值。
高斯定律表述：穿过任意闭合曲面的总电通量等于该曲面所包围的净电荷 $Q_{\text{enclosed}}$ 除以真空介电常数 $\epsilon_0$，即 $\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{enclosed}} / \epsilon_0$。
解题策略：利用高斯定律计算电场时，需选择“巧妙”的高斯面，使得电场 $\mathbf{E}$ 与面积元 $d\mathbf{A}$ 平行或垂直，且 $\mathbf{E}$ 在曲面上大小恒定，从而将 $\mathbf{E}$ 移出积分符号。

题目设定：边长为 $A$ 的立方体位于特定区域，区域内存在电场 $\mathbf{E} = Bz \hat{k}$（$B$ 为正常数）。需计算穿过该立方体表面的总电通量。
侧面与底面分析：
四个侧面的面积矢量垂直于 $z$ 轴，而电场沿 $z$ 方向，故 $\theta=90^\circ$，这四个面的通量均为零。
底面位于 $xy$ 平面（$z=0$），此处电场强度为零，因此底面通量也为零。
顶面计算：
顶面位于 $z=A$ 处，面积矢量与电场方向相同（$\theta=0^\circ$）。
该面上电场大小恒为 $BA$，面积为 $A^2$。
顶面通量 $\Phi = (BA)(A^2) = BA^3$。
最终结论：由于其他五个面的通量为零，立方体的总电通量为 $BA^3$（正值表示净向外流出）。

物理模型：半径为 $R$ 的球体内部均匀分布着总电荷量 $Q$。需分别计算球外（$r > R$）和球内（$r < R$）距离中心 $r$ 处的电场强度。
对称性分析：由于电荷分布具有球对称性，电场方向必为径向。对于正电荷，电场方向沿半径向外。因此，高斯面应选取为以球心为中心的同心球面。
球外电场 ($r > R$)：
高斯面半径 $r$ 大于 $R$，包围的总电荷为 $Q$。
根据高斯定律：$E(4\pi r^2) = Q / \epsilon_0$。
解得 $E = Q / (4\pi \epsilon_0 r^2)$，与点电荷电场公式一致。
球内电场 ($r < R$)：
高斯面半径 $r$ 小于 $R$，仅包围部分电荷 $Q_{\text{enclosed}}$。
利用均匀体积电荷密度 $\rho = Q / (\frac{4}{3}\pi R^3)$，可得 $Q_{\text{enclosed}} = \rho (\frac{4}{3}\pi r^3) = Q (r^3 / R^3)$。
代入高斯定律：$E(4\pi r^2) = [Q (r^3 / R^3)] / \epsilon_0$。
解得 $E = Q r / (4\pi \epsilon_0 R^3)$。
规律总结：在球体内部，电场强度随距离 $r$ 线性增加；在球体外部，电场强度随 $1/r^2$ 衰减。