利用微积分建立电势与电场的联系 | AP物理 | Khan Academy

外来客 • 2026-10-15 02:26:38

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（原标题：Connecting electric potential and field using calculus | AP Physics | Khan Academy）

微分关系：在 $x$ 轴上取微小位移 $\Delta x$，当 $\Delta x \to 0$ 时，平均电场趋近于瞬时值，导出 $E_x = -\frac{dV}{dx}$。同理可得 $y$、$z$ 分量，总电场由单位向量组合表示。
积分关系：电势差定义为外力移动单位电荷所做的功。由于动能不变，外力做功等于电场力做功的负值。微小位移 $dr$ 上的电势变化为 $\Delta V = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$，总电势差需对路径进行积分。
计算示例：在均匀电场中，积分简化为点积运算。设电场强度为 $1000$ 伏特/米，两点间距 $5$ 米，位移与水平线夹角 $37^\circ$。由于电场竖直向上，$\vec{E}$ 与 $\Delta \vec{R}$ 的夹角 $\theta = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$。
数值结果：代入公式 $\Delta V = -E \Delta R \cos\theta$，利用 $\cos 53^\circ \approx 0.6$，计算得电势差为 $-3000$ 伏特。负号表明沿电场方向移动时电势降低。