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单摆的简谐运动 | AP物理 | 可汗学院

外来客 • 2026-09-07 16:03:41

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（原标题：SHM of simple pendulums | AP Physics | Khan Academy）

📐 单摆模型定义与受力分析

简单摆（Simple Pendulum）定义为悬挂物质量远大于绳或杆的质量，可建模为无质量细线连接的质点；若质量均匀分布（如固定尺子），则称为物理摆。
在平衡位置附近摆动时，重力 $mg$ 分解为径向分量 $mg \cos\theta$ 和切向分量 $mg \sin\theta$。
由于质点做圆周运动存在向心加速度，张力大于 $mg \cos\theta$，导致直接分析力较为复杂，因此引入力矩（Torque）概念简化分析。

⚖️ 恢复力矩与简谐运动条件

只有重力的切向分量产生关于支点的净力矩，大小为 $\tau = -L mg \sin\theta$（$L$ 为摆长）。该力矩方向始终指向平衡位置，属于恢复力矩。
严格来说，由于力矩与角位移的正弦值成正比而非线性关系，单摆运动并非精确的简谐运动。
小角度近似：当 $\theta < 30^\circ$ 时，$\sin\theta \approx \theta$（弧度制），此时恢复力矩与角位移成正比，满足简谐运动条件。

📈 运动特征与能量守恒

在无阻力假设下，单摆做周期性正弦振荡，振幅为初始角度 $\theta_0$。
机械能守恒：张力始终垂直于运动方向不做功，系统总机械能保持不变。
能量分布规律：在最大位移处（振幅位置），速度为零，重力势能最大；在平衡位置，速度达到峰值，动能最大。

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