单摆的简谐运动 | AP物理 | Khan Academy

外来客 • 2026-08-14 07:39:30

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（原标题：SHM of simple pendulums | AP Physics | Khan Academy）

🎯 核心观点

单摆模型定义：当悬挂物的质量远大于细绳或杆的质量时，可将其简化为质点连接无质量弦的“单摆”。这与质量均匀分布的“物理摆”（如尺子）形成对比。
简谐运动条件：单摆的运动并非严格意义上的简谐运动（SHM），因为恢复力矩与角位移的正弦值成正比，而非直接正比于角位移。但在小角度近似下（通常指 $\theta < 30^\circ$），$\sin\theta \approx \theta$，此时单摆执行简谐运动。
能量守恒：在无阻力且张力不做功的理想情况下，单摆系统的机械能（动能与重力势能之和）保持守恒。

📐 关键事实/论据

受力分析与力矩简化：
小球受重力和张力作用。将重力分解为径向分量 ($mg\cos\theta$) 和切向分量 ($mg\sin\theta$)。
引入“力矩”概念可简化分析：张力和重力径向分量均指向或背离支点，不产生力矩；只有重力切向分量产生恢复力矩。
净力矩大小为 $\tau = L \cdot mg\sin\theta$（$L$为摆长），方向始终指向平衡位置，表现为恢复力矩。
小角度近似原理：
当角度较小时，弧长（$\theta$，弧度制）与对边长度（$\sin\theta$）非常接近。
数值验证：在 $30^\circ$ 以内，$\theta$ 与 $\sin\theta$ 的值在小数点后第一位保持一致；超过此角度误差显著增大。因此，限制角度小于 $30^\circ$ 可使运动近似为正弦振荡。
能量分布特征：
最大势能位置：在振幅处（最高点），速度为零，动能为零，重力势能达到最大值。
最大动能位置：在平衡位置（最低点），速度达到最大，动能达到最大值，重力势能最小。

💡 结论